Derivadas parciales y gradiente

• Ultima modificación: Feb 01, 2024 | YouTube

Derivada para funciones de una variable

\frac{d}{dx} f(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}

Derivada para una función de dos variables

Se obtiene al tratar la otra variable como una constante:

\begin{split} f_x & = \frac{\partial}{\partial x} f(x, y) \\ \\ & = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x, y) - f(x, y)}{\Delta x} \\ \end{split}

\begin{split} f_y & = \frac{\partial}{\partial y} f(x, y) \\ \\ & = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{f(x, y + \Delta y) - f(x, y)}{\Delta y} \\ \end{split}

Ejemplo:

f(x, y) = x^2 + y^2

\begin{split} f_x & = \frac{\partial}{\partial x} f(x, y) \\ \\ & = \frac{\partial}{\partial x} \left( x^2 + y^2 \right) \\ \\ & = \frac{\partial}{\partial x} x^2 + \frac{\partial}{\partial x} y^2\\ \\ & = 2x \end{split}

\begin{split} f_y & = \frac{\partial}{\partial y} f(x, y) \\ \\ & = \frac{\partial}{\partial y} \left( x^2 + y^2 \right) \\ \\ & = \frac{\partial}{\partial y} x^2 + \frac{\partial}{\partial y} y^2\\ \\ & = 2y \end{split}

Gradiente

\nabla f(x, y) = \left[ \begin{split} \frac{\partial}{\partial x} f(x, y) \\ \\ \frac{\partial}{\partial y} f(x, y) \\ \end{split} \right]

Ejemplo:

\nabla f(x, y) = \left[ \begin{split} 2x \\ \\ 2y \\ \end{split} \right]