Conteo para estimación de probabilidades#

  • Un concepto fundamental en probabilidad es realizar el conteo de todos los posibles eventos con el fin de determinar su frecuencia.

  • Definición. Si trabajo es compuesto por k tareas individuales, y si tarea i puede ser realizada en n_i formas diferentes, entonces el trabajo puede ser realizado en

    n_1 \times n_2 \times \cdots \times n_k

    formas diferentes.

Ejemplo. En una loteria, el usuario puede escoger seis números entre 1, 2, …, 44.

  • Si el usuario NO puede seleccionar un número dos veces, entonces los primeros dos números pueden ser seleccionados en 44 \times 43 = 1,892 formas diferentes (Conteo SIN reemplazo).

  • Si el usuario SI puede seleccionar un número dos veces, entonces los primeros dos números pueden ser seleccionados en 44 \times 44 = 1,936 formas diferentes (Conteo CON reemplazo).

  • Considere una loteria en que el usuario debe seleccioar seis (6) números entre 1, 2, …, 44. En el conteo ordenado sin reemplazo el orden de los numeros SI importa, es decir, los resultados

    \text{1} \quad \text{33} \quad \text{7} \quad \text{26} \quad \text{11} \quad \text{9}

    y

    \text{33} \quad \text{1} \quad \text{7} \quad \text{26} \quad \text{11} \quad \text{9}

    son resultados diferentes. En este caso, el número total de tickets es de

    44 \times 43 \times 42 \times 41 \times 40 \times 39 = \frac{44!}{38!} = 5,082,517,440

  • En el conteo ordenado con reemplazo, el número total de tickets es:

    44 \times 44 \times 44 \times 44 \times 44 \times 44 = 44^6 = 7,256,313,856

  • En el conteo no ordenado sin reemplazo, el denominador se obtiene al considerar cuantas secuencias se pueden armar con seis números diferentes.

    \frac{44 \times 43 \times 42 \times 41 \times 40 \times 39} {6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{44!}{6! \times 38!} = \binom{44}{6} = 7,059,052

    con:

    \binom{n}{r} = \frac{n!}{r! \times (n-r)!}

  • En el conteo no ordenado con reemplazo, el cálculo seria:

    \binom{n+r-1}{r}

Ejercicio. Considere una baraja inglesa que contiene las siguientes cartas

A  2  3  4  5  6  7  8  9  10  J  Q  K

para cada uno de los cuatro palos:

  • Picas (o espadas).

  • Corazones (o copas).

  • Rombos (o diamantes, oros o cocos).

  • Tréboles (o flores o bastos).

Es decir, 52 cartas en total. Si se realiza un juego con manos de cinco cartas, responda las siguientes preguntas:

  • Cuántas manos diferentes hay?

  • Cuál es la probabilidad de obtener cuatro aces?

  • Cuál es la probbilidad de obtener cuatro cartas del mismo palo?

  • Cuál es la probabilidad de obtener exactamente un par?