Funciones de masa y densidad#

Función de probabilidad#

Dado un espacio muestral S y un conjunto de eventos A_i mutuamente exclusivos y colectivamente exhasutivos, una función de probabilidad es una función Pr cualquiera que:

  • \text{Pr}(A_i) \ge 0, \quad \forall A \in S

  • \text{Pr}(S) = 1.

Función de masa de probabilidad#

La función de masa de probabilidad f_X(s) de una variable aleatoria discreta X es dada por:

f_X(x) = \text{Pr}(X=x), \qquad \forall x.

Función de densidad de probabilidad#

La función f_X(x) para una variable aleatoria continua X es una función que satisface con:

F_X(x) = \int_{-\infty}^x f_X(t) dt, \quad \forall x.

Función de distribución acumulada de X o F_X(x)#

Es la función

F_X(x) = \text{Pr}_X (X \le x), \quad \forall x

Tal que:

  • \lim_{x \to -\infty} F_X(x) = 0 y \lim_{x \to \infty} F_X(x) = 1

  • F_X(x) es no una función no decreciente de x.

  • F_X(x) es continua por la derecha (existencia).

Función de masa de probabilidad. Es una función que da el valor exacto de la probabilidad para una variable aleatoria discreta para un valor determinado. Para la tirada de dos dados, la función vale:

Pr(𝑋= 2) = 1 / 36   Pr(𝑋= 6) = 5 / 36   Pr(𝑋=10) = 3 / 36
Pr(𝑋= 3) = 2 / 36   Pr(𝑋= 7) = 6 / 36   Pr(𝑋=11) = 2 / 36
Pr(𝑋= 4) = 3 / 36   Pr(𝑋= 8) = 5 / 36   Pr(𝑋=12) = 1 / 36
Pr(𝑋= 5) = 4 / 36   Pr(𝑋= 9) = 4 / 36

Función de densidad de probabilidad

Es la función de probabilidad asociada a una variable aleatoria continua.

El área bajo la función de densidad de probabilidad corresponde a la probabilidad de la variable aletaoria. Debe cumplir con las siguiente propiedadades

0 \le f_X(x) \le 1

\int_{-\infty}^\infty f_X(x) = 1

Función de probabilidad acumulada y función de supervivencia

La función de probabilidad acumulada retorna la probabilidad de que una variable aleaoria sea menor o igual a un valor x:

F(x) = \text{Pr}(X\le x)

La función de supervivencia retorna la probabilidad de que una variable sea mayor a un valor x:

S(x) = \text{Pr}(X > x)